∞⁰ = ∞, 1 или не определено. Что он?

Пару дней назад я написал статью о суммировании Рамануджана, вкратце говоря, это математическая серия, которая выглядит примерно так:

Если вы хотите прочитать статью, нажмите здесь. Я доказываю этот факт в статье вместе с двумя другими не менее интересными уравнениями. Именно здесь я наткнулся на идею этой самой статьи. После публикации Рамануджанского суммирования я получил комментарий о том, как я использую коммутативность бесконечно счетного множества. Коммутативность - это идея, что если у вас 1 + 2 + 3, переупорядочение терминов не меняет результат. Таким образом, 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, вы можете использовать термины в любом порядке, и ответ по-прежнему всегда будет 6. Я использую это свойство, чтобы доказать приведенное выше уравнение в другой моей статье, но forceOfHabit поднял интересный точка, это верно для бесконечного набора чисел?

«Интуитивно очевидно, что целых положительных чисел в два раза больше, чем даже положительных. Но если мы возьмем последовательность натуральных чисел и умножим их все на 2, мы получим последовательность четных натуральных чисел. Но умножение каждого члена последовательности на 2 не меняет количество членов. Таким образом, число положительных целых чисел точно такое же, как и у целых положительных чисел. Так что это? В два раза больше или столько же? - Сила привычки

И, честно говоря, я не знал ответа на это. Но это вызвало мой интерес, поэтому я решил исследовать его немного подробнее. Я прошел по червоточине в Википедии через различные разделы математики, изучая некоторые интересные факты на этом пути, и в итоге оказался в кардинальном количестве. Кардинальность имеет дело с наборами и так вы бы описали количество элементов в наборе. Например, набор {1,2,3} имеет 3 элемента или количество элементов 3.

Используя кардинальность, мы можем начать понимать вопросы, приведенные выше. Я исследовал немного дальше и нашел интересную часть кардинальности, называемую кардинальной арифметикой, которая представляет собой арифметические операции, которые можно выполнять над кардинальными числами, которые обобщают обычные операции для натуральных чисел. Иными словами, они представляют собой особый набор операций, которые работают специально для кардинальных чисел, каждая со своим определением. Например, если у вас есть два набора A и B с мощностью 3 и 4 соответственно, то мы обозначим это как | A | = 3 и | B | = 4. Тогда | A | + | B | = | A ∪ B |. Конечно, это то же самое, что просто добавить числовые значения | A | и | B |, тот факт, что он определен таким образом, показывает, как существуют арифметические операции, которые могут быть созданы для конкретных наборов (при условии, что операция соответствует определенным критериям).

Используя кардинальную арифметику, было доказано не только то, что количество точек в строке действительных чисел равно количеству точек в любом сегменте этой линии. Это звучит очень нелогично, но, опять же, вопрос выше, поэтому мне нравится думать, что они похожи. Очевидно, что это никоим образом не является формальным или даже действительным доказательством, но я бы сказал, что если вы рассматриваете их в том же смысле, то ответ на вопрос forceOfHabit - вариант b; такое же количество целых чисел.

Но, с другой стороны, я могу быть совершенно неправ, и в этом недоумение бесконечности. Существует так много, что не известно об этом, потому что это просто концепция. Невозможно измерить бесконечность, потому что по определению это неизмеримо, и само по себе это сложная концепция, чтобы обернуть голову вокруг. Я думаю, что профессор 1-го курса математики довольно хорошо подытожил бесконечность: «Я ненавижу бесконечность. Это не число, но мы относимся к нему как к одному, но не должны. Это концепция, а не математическая ценность, поэтому, если кто-то из вас использует ее как таковой, вы можете также отказаться от курса! »

Теперь о моем любимом номере во всем мире. Вы спрашиваете кого-нибудь, какое у них любимое число (конечно, после разговоров о погоде), и они, вероятно, скажут что-нибудь, касающееся дня рождения или счастливого номера, в которое они верят. Но спросите меня, и я скажу вам 0. Это не счастливое число, не день рождения и не годовщина, но оно, безусловно, самое интересное для меня.

Для начала это имеет значение, но не имеет значения. Если вы добавите его к другому номеру, он останется прежним. Вычтите это, остается тем же самым. Но когда вы умножаете это, вы получаете 0, независимо от того, на что вы умножаете это.

1 х 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

И когда вы делите его, вы получаете 0 независимо от того, какой это знаменатель (номер столбца 1, следите за обновлениями). 0/1234 по-прежнему ноль

Но когда вы погружаетесь на ноль, вы получаете действительно дурацкие вещи. Я говорю, уклонение от пуль на уровне матрицы сумасшедший. Любой, кто взял класс алгебры, знает, что мы не можем делить на ноль, потому что он не определен. Мы классифицируем его как неопределенное, потому что если вы пытаетесь разделить 6 на ноль, это аналогично заданию вопроса «Какое число, умноженное на 0, равно шести?» Мы знаем, что не существует никакого числа, чтобы удовлетворить это, поэтому деление на ноль не следует обычным правилам деления. Следовательно, мы игнорируем это. Но если мы забудем это правило на секунду, деление на ноль может стать очень аккуратным инструментом для «доказательства» совершенно нелепых вещей. Например:

Пусть а = б. потом
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) # Здесь происходит магический шаг
2 = 1

Итак, я только что доказал, что 2 = 1 и сломал математику! Это происходит из-за магического шага, делящего обе стороны на a² - ab, но если вы посмотрите на исходное утверждение, a = b, так что a² = ab, другими словами a² - ab = 0. Это деление на ноль, который не определен по этой точной причине. Это также, почему математики избегают этого как чума.

К счастью, это на самом деле третий вариант. Я мог бы объяснить, как, когда он имеет форму предела, это неопределенная форма, но я думаю, что известный друг из Apple лучше всего это описывает:

«Представьте, что у вас 0 файлов cookie, и вы равномерно распределили их между 0 друзьями. Сколько куки получает каждый человек? Видите, это не имеет смысла. И Cookie Monster грустно, что нет куки. И тебе грустно, что у тебя нет друзей. - Сири (действительно, попробуйте спросить Сири «что 0 делится на 0?»)

Более сложный вопрос с нулем, что такое 0⁰? По определению, если у вас есть a в степени b, то результат будет умножен на b раз. Так должно быть ноль, верно? Потому что любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Но мы также знаем, что a⁰ = 1 (для всех a ≠ 0), поэтому, возможно, это должно быть 1? Или оно должно быть неопределенным, как деление на 0? Это давно обсуждается в математике, и у обеих сторон есть аргументы относительно того, каким должен быть реальный ответ. Здесь есть интересный сайт, который дает аргументы для обеих сторон, но основные из них следующие: На 0 On должна быть неопределенная сторона, мы имеем:

  1. Мы знаем a⁰ = 1 (для всех a ≠ 0), но a⁰ = 1 (для всех a> 0). Это противоречие означает, что 0⁰ должно быть неопределенным

Со стороны 0⁰ = 1 имеем:

  1. Для выполнения биномиальной теоремы при x = 0 нам нужно 0⁰ = 1
  2. 0⁰ представляет собой пустое произведение (количество наборов из 0 элементов, которые можно выбрать из набора из 0 элементов), которое по определению равно 1 (это также та же самая причина, по которой все остальное, возведенное в степень 0, равно 1).

Так каков ответ? Ну, у нас до сих пор нет конкретного ответа. Большинство людей согласятся с тем, что is является неопределенным (поскольку функция x ^ y как функция двух переменных не является непрерывной в начале координат). Но у обеих сторон есть веские аргументы, и пока кто-то не сможет выдвинуть конкретное доказательство, утверждающее одно или другое, действительно невозможно утверждать, является ли одно из них истинным.

Теперь вам может быть интересно, что произойдет, если вы объедините их. Что такое ∞ x 0? Как насчет ∞⁰? Ну, проблема возвращается к бесконечности, в том, что это просто концепция. Нет никакого способа измерить это, у вас не может быть бесконечного количества липких медведей или бесконечного количества мороженого (хотя я уверен, что мы все хотели бы, чтобы мы могли).

В большинстве случаев ответ не определен. Все это примеры вопросов, на которые нет ответа, потому что мы не можем придать значащую ценность такой концепции, как бесконечность. Конечно, есть странное исключение, например 0 ^ ∞, которое имеет своего рода значение 0. Если вы берете предел 0 ^ n, когда n стремится к бесконечности, оно равно нулю. Но это редкие случаи, и даже тогда 0 ^ ∞ все еще технически не равен 0, он просто очень близко к нему подходит.

Итак, вы видите, бесконечность - это очень интересная вещь, потому что она так осязаема и одновременно абстрактна. Вы постоянно видите это в математических учебниках и уравнениях, но у нас все еще нет конкретного определения или значения того, что это такое.

Ноль просто потрясающий, потому что он делает свое дело. Иногда ему нравится играть по правилам, иногда он делает свое дело, а иногда он запирает себя в комнате и отказывается сотрудничать с кем-либо.

Оба имеют свои искупительные качества, которые очень полезны в области математики. У них также есть свои причуды, которые могут быть полезны и иногда, и боль в заднице у других. Но хотя это только один из фактов жизни, это недоумение бесконечности и нуля.