10 неловких моментов в истории математики

Мы все пережили наши неловкие моменты. Происходит что-то неожиданное, возникает некоторое социальное напряжение и личное беспокойство, и вы действительно хотели бы преодолеть это или забыть, что это когда-либо происходило. Но что, если вы строгий математик, и вы только что опровергли свой мир?

Математика всегда была направлена ​​на то, чтобы понять мир с помощью логики и выразить его строго определенным математическим языком. Наблюдать математику, когда она перестала (на мгновение) иметь смысл, действительно показательно, познавательно и весело.

1. Открытие иррациональных чисел

Афинская школа, изображающая среди почти всех возможных древнегреческих философов Пифагора в левом углу

Поскольку истоки математической строгости лежат в древней Греции, математическая мысль начиналась близко к религиозным верованиям, поэтому числа были приписаны божественным характеристикам.

Школа Пифагора, оккультная команда ранних математиков, которые продвигали математические знания, как и все культы, была основана на некоторых фундаменталистских верованиях. Пораженные применимостью отношений к каждой практической проблеме, они полагали, что отношения (да, простые разделенные числа) являются божественными, поскольку они могут объяснить все, что происходит в мире.

Соответственно, все, что происходит в мире, должно быть в состоянии выразить как отношение, верно?

Теперь представьте себе их удивление, когда они обнаружили корень числа квадратный из 2, применяя недавно сформулированную теорему Пифагора. Это иррациональное число (иррациональное значение, которое не может быть выражено как отношение двух чисел) бросает вызов мировому порядку, выраженному божественностью отношений, и ставит под сомнение всю их философию.

В ужасе от последствий этого революционного открытия они решили никому не рассказывать об этом. Также сказано, что они даже утопили человека, который сделал открытие, Гиппаса. Тихо научный, тебе не кажется?

2. Бесконечность

Открытие иррациональных чисел, какими бы плохими они ни были, привело греков к более ужасному открытию - бесконечности. Поскольку иррациональные числа характеризуются наличием бесконечного числа десятичных цифр, грекам пришлось придумать объяснение того, как можно создать бесконечный ряд чисел. Понятие бесконечности трудно понять сегодня, не говоря уже о эпохе, когда религия была связана с наукой, и математическая вера не должна бросать вызов нашему пониманию Бога. Итак, что сделали греки? Философы, подобно Аристотелю и Платону, отвергли понятие абсолютной бесконечности, и математики придумали изобретательные способы обойти потребность в бесконечности в геометрии, как Евдокс Книдский, который разработал метод исчерпания для вычисления площади форм. Лишь в конце 17-го века Ньютон и Лейбниц поощряли учитывать бесконечность, используя бесконечно малые числа, и Джон Уоллис представил известный символ бесконечности в 1655 году.

3. Парадоксы Зенона

Греки, конечно же, доходили до крайностей, когда дело доходило до философских рассуждений.

После того, как его предшественник Гераклит заявил, что все в мире постоянно меняется, Парменид заявил, что ничего не меняется. В результате движение является простой иллюзией, и поэтому, используя математику, язык правды, согласно грекам, описать это должно быть невозможно.

Зено, один из учеников Парменида, разработал серию парадоксов, призванных доказать иррациональность движения. Самый известный, Ахилл и его черепаха, выглядят так: Ахиллес мчится против черепахи, которая значительно медленнее, дает преимущество в том, чтобы начать гонку на 100 метров впереди него.

Если для простоты предположить, что скорости двух участников постоянны, а Ахиллес в 10 раз быстрее черепахи, то мы можем сказать, что, когда Ахиллес достигнет начальной точки черепахи, она пробежит 10 метров. Итак, Ахиллес попытается наверстать упущенное, и к тому времени, когда он достигнет этой следующей точки, черепаха переместится еще на один метр.

Эта математическая проблема средней школы, будучи столь же простой и понятной, приводит нас к следующему парадоксальному выводу: Ахиллес никогда не достигнет черепахи, независимо от того, насколько он быстрее. Поздравляю, Зено, ты сделал звук движения нелогичным.

Считалось, что парадоксы Зенона существовали в сфере метафизики и проблемных философов и математиков целую вечность, но сегодня их можно объяснить исчислением, математическим инструментом, которым греки не обладали. Давайте «двигаться» дальше.

4. Лента Мёбиуса

Сделай сам Мобиус полосы

Забавно выглядящая полоса Мёбиуса, которая также была независимо обнаружена в 1858 году незадачливым листингом, имя которого оставило историю математики без изменений, представляет собой поверхность с одной стороной и только одной границей, часто используемую для того, чтобы озадачить молодых студентов-математиков.

Вы можете легко создать это, взяв полоску бумаги, скручивая ее и затем соединяя концы полосы.

Будучи первым примером поверхности без ориентации, она не поколебала основы математики, как это сделали другие открытия в этом списке, однако она дала много практических применений, таких как устойчивый пояс, и вдохновила математиков придумать неориентируемые поверхности, такие как бутылка Кляйна. (Название этой поверхности, возможно, происходит из двойного совпадения: Klein, ее концептор, первоначально назвал ее Fläche, что означает поверхность на немецком языке и звучит похоже на Flasche, что означает бутылку. Тот факт, что она также выглядел как бутылка, похоже, имеет опечатали переименование).

5. Кантора неисчислимость действительных чисел

Имея дело с бесконечностью, уже являющейся тормозом, Кантор доказал в 1874 году, что на самом деле существуют разные виды бесконечности. В частности, доказав несчетность действительных чисел, Кантор доказал, что этот набор больше уже бесконечного набора натуральных чисел.

В 1891 году он также представил диагональный аргумент, одно из доказательств, настолько изящных, что позднее оно было принято в качестве инструмента для доказательства посредством использования парадокса. Его замечание породило теорию кардинальных чисел, а также парадоксы, касающиеся вопроса: сколько бесконечности вы можете справиться?

6. парадокс Рассела

Бертран Рассел был математиком, философом, логиком, математиком, историком, писателем, социальным критиком, политическим активистом и, на мой взгляд, личностью, которую стоит изучать и вдохновлять.

В 1901 году Рассел обнаружил слабое место в до сих пор хорошо известной теории множеств Кантора, что привело его к противоречию, которое математический мир не мог контролировать. Согласно этой теории, любая коллекция вещей может быть множеством.

Противоречивый пример Рассела, также называемый парадоксом Парикмахера, выглядит следующим образом: представьте город, в котором есть особое правило; каждый человек, который не побрился сам, должен быть побрился парикмахером города. Неловкий вопрос, на который вы можете попытаться ответить самостоятельно: кто бреет парикмахера?

Это открытие привело к тому, что он поставил под сомнение простые основы предыдущей теории множеств и создал новую, которая была более сложной, чем предложенная позднее теория множеств Цермело-Френкеля, не догнала.

7. Теоремы Гёделя о неполноте

Курт Гёдель, логик, математик и философ, который встряхнул основы математики и логики в 19 веке.

Если предыдущие события, казалось, создавали немного неудобные моменты, подождите следующую неуклюжую черепаху (а это хуже, чем у Ахилла).

Мы говорим о 20 веке. Люди не просто хотят знать. Они хотели узнать, возможно ли это узнать, и доказать это. К несчастью для них и потребности человека в понимании вселенной, Гедель опубликовал в 1931 году две теоремы, известные как теоремы о неполноте.

Объяснить их технические особенности так же сложно, как и прийти к их выводам, поскольку Гёдель доказал, что, учитывая непротиворечивую и полную систему, такую ​​как язык арифметики, существуют утверждения, которые являются истинными и не могут быть доказаны. Он проиллюстрировал истинность своей теоремы этим простым утверждением, вдохновленным парадоксом лжеца: «Это утверждение невозможно доказать». Если это правда, то это утверждение верно и не может быть доказано. Если это неверно, то это утверждение может быть доказано, что противоречит первоначальному аргументу, что его невозможно доказать.

Это были очень плохие новости для математики, лишавшие их первоначального взгляда на объяснение абсолютной истины. Это было также ужасное возвращение Гилберта к поиску знаний, выраженное в его заявлении «Мы должны знать, мы будем знать».

8. Теорема Тарского о неопределимости

Кажется, что Тарский был вдохновлен отчаянием, созданным Геделем. В 1936 году он представил доказательство проблемы неопределимости.

Хотя наблюдения, сделанные Тарским, также включены в работу Гёделя, утверждается, что работа Тарского имеет более глубокое философское влияние. Тарскому удалось прийти к общему выводу, что язык не может определить истину сам по себе. Хотя это важное ограничение, он предполагает, что использование более мощного метаязыка достаточно для определения истины на более простом языке.

Теперь обычный человек может подумать, что это решает проблему, но для математика, ищущего «один язык, чтобы управлять ими всеми», это не так утешительно.

9. Проблема остановки

Алан Тьюринг попытался решить проблему решения, которая, простыми словами, имела дело с поиском алгоритма, который мог бы ответить, является ли утверждение верным или нет. Чтобы решить эту концептуально простую, но трудную для решения проблему, он перефразировал ее к проблеме остановки: есть ли машина, которая может сказать вам, остановится ли программа по данной проблеме?

Остановка означает, что это не будет цикл навсегда. Но как доказать невозможность использования машины, о которой вы так мало знаете? Вот где пригодятся парадоксы.

Алан Тьюринг начал с предположения о существовании машины, которая выдавала входную программу, и проблема отвечает на вопрос, остановится ли она или нет. Затем он расширил эту машину, зациклив ее вывод на себя, если ответ был да, и остановившись, если ответ был нет.

Так будет ли дополненная машина останавливаться на проблеме остановки? Ответ Алана: если да, то нет, если нет, то да. Звучит как плохая новость для логики.

10. Теорема об отсутствии бесплатного обеда

Переход к 21-му веку означал переход от чистой, почти философской математики к прикладным областям, таким как статистика и оптимизация.

Если вы считаете, что увлекаетесь оптимизацией, не думаете ли вы, что это сделает вас перфекционистом? И разве перфекционист не захочет найти оптимальный способ оптимизации вещей?

Похоже, что Дэвид Уолперт и Уильям Макриди почувствовали эту необходимость и пришли к ответу, который, конечно, не был обнадеживающим (иначе его бы не было в нашем списке). Согласно их теореме «Нет бесплатного обеда для оптимизации», опубликованной в 1997 году, «любые два алгоритма оптимизации эквивалентны, когда их производительность усредняется по всем возможным проблемам».

Это может быть душераздирающим, но это не значит, что оптимизация бесполезна. Мы просто никогда не найдем оптимального способа сделать это.

Эти моменты заставили мир математики чувствовать себя неловко, что является легким термином для чувств отчаяния и хаоса, которые ученые стремятся испытать, когда вселенная перестает иметь смысл. Но шок - это способ продвижения науки вперед.

Математические поля были созданы, мы получили машину Тьюринга, причудливо выглядящие поверхности и, что самое важное, способность пересмотреть наше восприятие и соответствующим образом адаптировать наши инструменты.

Эти моменты опроса помогли нам развиваться интеллектуально.

За исключением теорем о неполноте. Это было просто разрушительным.