QC - Управление квантовыми вычислениями с унитарными операторами, помехами и запутанностью

Фото Сагар Дани

Отлично. Мы только что закончили Часть 2 на Qubit (Квантовый бит - основной строительный блок для квантовых вычислений). Так как мы можем это контролировать? В отличие от классических вычислений, мы не применяем логические операции или обычную арифметику к кубитам. В квантовых вычислениях нет «оператора while» или «оператора ветвления». Вместо этого мы разрабатываем унитарные операторы для манипулирования кубитами по принципу интерференции в квантовой механике. Звучит необычно, но на самом деле очень просто. Мы рассмотрим понятие унитарных операторов. В качестве дополнительного примечания мы рассмотрим его связь с уравнением Шредингера, поэтому мы не разрабатываем концепцию против природы. Наконец, мы смотрим в запутанность, мистическое квантовое явление.

Квантовые ворота

В классических компьютерах мы применяем базовые логические операторы (NOT, NAND, XOR, AND, OR) к битам для построения сложных операций. Например, ниже приведен однобитный сумматор с переносом.

Квантовые компьютеры имеют совершенно разные основные операторы, называемые квантовыми воротами. Мы не перекомпилируем существующую программу C ++ для запуска на квантовом компьютере. Оба имеют разные операторы, и для квантовых вычислений требуются разные алгоритмы, чтобы использовать их в своих интересах. В квантовых вычислениях это все о манипулировании кубитами, их запутывании и измерении. Вернемся к сфере Блоха. Концептуально, квантовые вычислительные операции манипулируют Φ и θ суперпозиции для перемещения точек вдоль поверхности единичной сферы.

Математически говоря, суперпозиция управляется линейным оператором U в виде матрицы.

Для одного кубита оператор является просто матрицей 2 × 2.

Уравнение Шредингера (необязательно)

Природа кажется наивно простой! Математика - это просто линейная алгебра, которую мы изучаем в старшей школе. Между измерениями состояния управляются линейными операторами с использованием умножения матриц. При измерении суперпозиция разрушается. По иронии судьбы, линейность является большим разочарованием для любителей фантастики. Это общее свойство квантовой динамики. В противном случае возможны путешествия во времени или путешествие быстрее света. Если мы начнем с этого линейного оператора (точнее, унитарного оператора), мы сможем вывести уравнение Шредингера, краеугольный камень квантовой механики при описании эволюции состояний в квантовой механике. С противоположной точки зрения уравнение Шредингера заключает в себе линейность природы.

Источник

Здесь мы можем переписать уравнение Шредингера как

где H эрмитова Это демонстрирует, как состояния развиваются в природе линейно.

Уравнение является линейным, т. Е. Если оба ψ1 и ψ2 являются действительными решениями для уравнения Шредингера,

его линейная комбинация является общим решением уравнения.

Если | 0⟩ и | 1⟩ - возможные состояния системы, ее линейное сочетание будет ее общим состоянием - это принцип суперпозиции в квантовых вычислениях.

унитарный

Наш физический мир не допускает всех возможных линейных операторов. Оператор должен быть унитарным и соответствовать следующему требованию.

где U † - транспонированное комплексное сопряжение U. Например:

Математически унитарный оператор сохраняет нормы. Это замечательное свойство сохранять полную вероятность равной единице после преобразования состояния и сохранять суперпозицию на поверхности единичной сферы.

Если мы посмотрим на решение уравнения Шредингера ниже, природа подчиняется тому же унитарному правилу. H является эрмитовым (транспонированное комплексное сопряжение эрмитова равно). Умножение оператора на его транспонированное комплексное сопряжение равняется единичной матрице.

Ниже приведен пример H, в котором имеется постоянное магнитное поле E₀ в направлении z.

Применение унитарной операции к | ψ⟩ приводит к повороту по оси z.

Но каково реальное значение унитарного в реальном мире? Это означает, что операции обратимы. Для любой возможной операции есть другая, которая может отменить действие. Как и при просмотре фильма, вы можете воспроизводить его вперед, а природа позволяет его коллеге U † воспроизводить видео назад. Действительно, вы можете не заметить, воспроизводите ли вы видео вперед или назад. Почти все физические законы обратимы во времени. Несколько исключений включают измерение в квантовой динамике и второй закон термодинамики. При разработке квантового алгоритма это очень важно. Исключительная операция ИЛИ (XOR) в классическом компьютере необратима. Информация потеряна. Учитывая вывод 1, мы не можем различить, является ли исходный ввод (0, 1) или (1, 0).

В квантовых вычислениях мы называем операторы квантовыми воротами. Когда мы проектируем квантовые врата, мы удостоверяемся, что они унитарные, то есть будут другие квантовые врата, которые могут повернуть состояние обратно к его оригиналу. Это важно, так как

если оператор унитарный, он может быть реализован в квантовом компьютере.

После того, как унитарное доказано, у инженеров не должно быть проблем для его реализации, по крайней мере, теоретически. Например, компьютеры IBM Q, состоящие из сверхпроводящих цепей, используют микроволновые импульсы различной частоты и длительности для управления кубитами вдоль поверхности сферы Блоха.

Чтобы достичь унитарного состояния, мы иногда выводим часть входных данных, чтобы соответствовать этому требованию, как показано ниже, даже если это выглядит избыточным.

Давайте рассмотрим один из наиболее распространенных квантовых вентилей, вентиль Адамара, линейный оператор которого определяется как следующая матрица.

или в нотации Дирака

Когда мы применяем оператор к состоянию вращения вверх или вниз, мы меняем суперпозиции на:

Если это измерено, оба имеют равные шансы быть раскрученными или закрученными. Если мы снова применим ворота, они вернутся в исходное состояние.

Источник

то есть транспонированное сопряжение Адамара - это сами ворота Адамара.

Когда мы применяем UU †, он восстанавливает исходный ввод.

Следовательно, ворота Адамара унитарны.

Квантовые вычисления основаны на помехах и запутанности. Хотя мы можем понять квантовые вычисления математически, не понимая этих явлений, давайте быстро продемонстрируем это.

интерференция

Волны мешают друг другу конструктивно или деструктивно. Например, выходной сигнал может быть увеличен или сглажен в зависимости от относительной фазы входных волн.

Какова роль помех в квантовых вычислениях? Давайте выполним некоторые эксперименты.

Интерферометр Маха Цендера (источник)

В первом эксперименте мы готовим все входящие фотоны, чтобы иметь состояние поляризации | 0⟩. Этот поток поляризованных фотонов равномерно разделяется по положению светоделителя B под углом 45 °, то есть он будет разделять луч на два поляризованных ортогональных источника света и выходить по отдельным путям. Затем мы используем зеркала, чтобы отразить фотоны на два отдельных детектора и измерить интенсивность. С точки зрения классической механики, фотоны разделяются на два отдельных пути и равномерно попадают в детекторы.

Во втором эксперименте выше мы поставили еще один светоделитель перед детекторами. Благодаря интуиции светоделители работают независимо друг от друга и разделяют световой поток на две половины. Оба детектора должны обнаруживать половину световых лучей. Вероятность того, что фотон достигнет детектора D₀ с использованием 1-пути красного цвета, равна:

Общий шанс того, что фотон достигнет D₀, составляет 1/2 от 1-пути или 0-пути. Таким образом, оба детектора обнаруживают половину фотонов.

Но это не соответствует экспериментальному результату! Только D₀ обнаруживает свет. Давайте смоделируем переход состояния для светоделителя с затвором Адамара. Итак, для первого эксперимента состояние фотона после сплиттера

Когда он измерен, половина из них будет | 0⟩, а половина - | 1⟩. Лучи света делятся равномерно на два разных пути. Таким образом, наши ворота Адамара будут соответствовать классическому расчету. Но давайте посмотрим, что произошло во втором эксперименте. Как показано выше, если мы подготовим все входные фотоны к | 0⟩ и передадим их в два входа Адамара, все фотоны снова будут | 0⟩. Поэтому, когда он измеряется, только D₀ обнаружит луч света. Никто не достигнет D₁, пока мы не выполним измерения перед обоими детекторами. Эксперименты подтверждают, что квантовый расчет верен, а не классический расчет. Давайте посмотрим, как вмешательство играет роль здесь, во вторых воротах Адамара.

Как показано ниже, компоненты одной и той же вычислительной базы конструктивно или деструктивно влияют друг на друга, чтобы получить правильный экспериментальный результат.

Мы можем подготовить входной фотонный пучок равным | 1⟩ и снова повторить расчет. Состояние после первого сплиттера отличается от исходного фазой π. Так что, если мы измерим сейчас, оба эксперимента сделают одинаковые измерения.

Однако при повторном применении ворот Адамара вы получите | 0 produce, а другой - | 1⟩. Помехи создают сложные возможности.

Позвольте мне сделать еще один забавный эксперимент, который имеет очень важное значение для кибербезопасности.

Если мы поместим другой детектор Dx после первого сплиттера, эксперимент покажет, что оба детектора теперь обнаружат половину фотонов. Совпадает ли это с расчетом в квантовой механике? В приведенном ниже уравнении, когда мы добавляем измерение после первого сплиттера, мы вызываем коллапс в суперпозиции. Конечный результат будет отличаться от результата без дополнительного детектора и совпадет с экспериментальным результатом.

Природа говорит нам, что если вы знаете, по какому пути идет фотон, оба детектора обнаружат половину фотонов. Фактически, мы можем достичь этого только с одним детектором только на одном из путей. Если никакие измерения не выполняются до того, как оба детектора, все фотоны попадают в детектор Dton, если фотон готов к тому, чтобы быть | 0⟩. Опять же, интуиция приводит нас к неверному выводу, в то время как квантовые уравнения остаются достоверными.

Это явление имеет одно критическое значение. Дополнительное измерение уничтожает первоначальные помехи в нашем примере. Состояние системы изменяется после измерения. Это одна из ключевых причин квантовой криптографии. Вы можете разработать алгоритм так, чтобы, если хакер перехватывает (измеряет) сообщение между вами и отправителем, вы могли обнаружить такое вторжение независимо от того, насколько аккуратным может быть измерение. Потому что схема измерения будет другой, если она будет перехвачена. Теорема о не клонировании в квантовой механике утверждает, что нельзя точно дублировать квантовое состояние. Таким образом, хакер не может дублировать и переслать оригинальное сообщение также.

Помимо квантового моделирования

Если вы физик, вы можете воспользоваться интерференционным поведением в квантовых элементах, чтобы моделировать те же помехи в атомных мирах. Классические методы работают с теорией вероятностей со значениями, большими или равными нулю. Это предполагает независимость, что не соответствует действительности в экспериментах.

Квантовый механизм утверждает, что эта модель неверна и вводит модель со сложными и отрицательными числами. Вместо того чтобы использовать теорию вероятностей, он использует вмешательство для моделирования проблемы.

Так что хорошего это принесет нефизикам? Помехи могут рассматриваться как тот же механизм, что и унитарный оператор. Это может быть легко реализовано в квантовом компьютере. Математически унитарный оператор является матрицей. По мере увеличения числа кубитов мы получаем экспоненциальный рост коэффициентов, с которыми мы можем играть. Этот унитарный оператор (вмешательство в глаза физика) позволяет нам манипулировать всеми этими коэффициентами в одной операции, которая открывает двери для массивных манипуляций с данными.

запутывание

В целом, ученые считают, что без запутанности квантовые алгоритмы не могут показать превосходства над классическими алгоритмами. К сожалению, мы не очень хорошо понимаем причины и, следовательно, мы не знаем, как адаптировать алгоритм к использованию его полного потенциала. Вот почему запутанность часто упоминается при введении квантовых вычислений, но не намного позже. По этой причине мы объясним, что такое запутанность в этом разделе. Надеюсь, что вы ученый, чтобы раскрыть секрет.

Рассмотрим суперпозицию 2-кубитов.

где | 10> означает, что две частицы находятся в спине вниз и спине вверх соответственно.

Рассмотрим следующее составное состояние:

Можем ли мы разделить составное состояние обратно на два отдельных состояния, как,

Мы не можем, потому что это требует:

Квантовая механика демонстрирует одну неинтуитивную концепцию. В классической механике мы верим, что понимание всей системы может быть достигнуто путем хорошего понимания каждого из компонентов. Но в квантовой механике,

Как показано ранее, мы можем моделировать составное состояние и делать точные прогнозы измерений.

Но мы не можем описать или понять это как два независимых компонента.

Я представляю этот сценарий как пара, состоящая в браке 50 лет. Они всегда будут договариваться о том, что делать, но вы не можете найти ответы, если рассматривать их как отдельных лиц. Это слишком упрощенный сценарий. Есть много возможных состояний запутывания

и будет намного сложнее описать их, когда число кубитов возрастет. При выполнении квантовых операций мы знаем, как компоненты взаимосвязаны (запутаны). Но перед любым измерением точные значения остаются открытыми. Запутывание создает корреляции, которые намного богаче и, вероятно, намного сложнее для классического алгоритма эффективно имитировать.

следующий

Теперь мы знаем, как манипулировать кубитами с помощью унитарных операций. Но для тех, кто интересуется квантовыми алгоритмами, мы должны сначала знать, что является ограничением. В противном случае вы можете упустить из виду, что сложно в квантовых вычислениях. Но для тех, кто хочет узнать побольше о квантовых воротах, вы можете прочитать вторую статью перед первой.